Fondamenti della matematica

Teoria delle categorie

Astrazione in matematica

Una tendenza recente nello sviluppo della matematica è stata il graduale processo di astrazione. Il matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802–1829) dimostrò che le equazioni di quinto grado non possono, in generale, essere risolte dai radicali. Il matematico francese Évariste Galois (1811–1832), in parte motivato dal lavoro di Abele, introdusse alcuni gruppi di permutazioni per determinare le condizioni necessarie affinché un'equazione polinomiale fosse risolvibile. Questi gruppi concreti hanno presto dato origine a gruppi astratti, che sono stati descritti assiomaticamente. Quindi si è realizzato che per studiare i gruppi era necessario esaminare la relazione tra i diversi gruppi, in particolare gli omomorfismi che mappano un gruppo in un altro preservando le operazioni del gruppo. Così le persone hanno iniziato a studiare quella che ora viene chiamata la categoria concreta di gruppi, i cui oggetti sono gruppi e le cui frecce sono omomorfismi. Non ci volle molto perché le categorie concrete fossero sostituite da categorie astratte, ancora una volta descritte assiomaticamente.

L'importante nozione di categoria è stata introdotta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane alla fine della seconda guerra mondiale. Queste categorie moderne devono essere distinte dalle categorie di Aristotele, che sono meglio chiamate tipi nel contesto attuale. Una categoria ha non solo oggetti ma anche frecce (indicate anche come morfismi, trasformazioni o mappature) tra di loro.

Molte categorie hanno come set di oggetti dotati di alcune strutture e frecce, che preservano questa struttura. Esistono quindi le categorie di insiemi (con struttura vuota) e mappature, di gruppi e omomorfismi di gruppo, di anelli e omomorfismi di anelli, di spazi vettoriali e trasformazioni lineari, di spazi topologici e di mappature continue, e così via. Esiste persino, a un livello ancora più astratto, la categoria di (piccole) categorie e funzioni, come vengono chiamati i morfismi tra le categorie, che preservano le relazioni tra gli oggetti e le frecce.

Non tutte le categorie possono essere visualizzate in questo modo concreto. Ad esempio, le formule di un sistema deduttivo possono essere viste come oggetti di una categoria le cui frecce f: A → B sono deduzioni di B da A. In realtà, questo punto di vista è importante nell'informatica teorica, dove si pensa alle formule come tipi e detrazioni come operazioni.

Più formalmente, una categoria è composta da (1) una raccolta di oggetti A, B, C,…, (2) per ciascuna coppia ordinata di oggetti nella raccolta una raccolta associata di trasformazioni inclusa l'identità I _A ∶ A → A e (3) una legge di composizione associata per ciascun triplo ordinato di oggetti nella categoria tale che per f ∶ A → B e g ∶ B → C la composizione gf (o g ○ f) è una trasformazione da A a C — vale a dire, gf ∶ A → C. Inoltre, la legge associativa e le identità devono essere mantenute (dove le composizioni sono definiti) -cioè h (gf) = (Hg) f e 1 _B f = f = f1 _A.

In un certo senso, gli oggetti di una categoria astratta non hanno finestre, come le monadi di Leibniz. Per inferire l'interno di un oggetto A Basta guardare tutte le frecce di altri oggetti in A. Ad esempio, nella categoria di insiemi, gli elementi di un insieme A possono essere rappresentati da frecce di un tipico insieme di un elemento in A. Analogamente, nella categoria delle piccole categorie, se 1 è la categoria con un oggetto e nessuna freccia non identità, gli oggetti di una categoria a possono essere identificati con i funtori 1 → a. Inoltre, se 2 è la categoria con due oggetti e una freccia non identità, le frecce di A possono essere identificate con i funtori 2 → A.

Strutture isomorfe

Una freccia f: A → B è chiamato un isomorfismo se esiste una freccia g: B → A inversa f, cioè tale che g ○ f = 1 _A e f ○ g = 1 _B. Questo è scritto A ≅ B, e A e B sono chiamati isomorfi, nel senso che hanno essenzialmente la stessa struttura e che non è necessario distinguerli. Nella misura in cui le entità matematiche sono oggetti di categorie, sono date solo all'isomorfismo. Le loro tradizionali costruzioni set-teoriche, oltre a servire uno scopo utile nel mostrare coerenza, sono davvero irrilevanti.

Ad esempio, nella solita costruzione dell'anello di numeri interi, un numero intero è definito come una classe di equivalenza di coppie (m, n) di numeri naturali, dove (m, n) è equivalente a (m ′, n ′) se e solo se m + n ′ = m ′ + n. L'idea è che la classe di equivalenza di (m, n) debba essere vista come m - n. Ciò che è importante per un categorista, tuttavia, è che l'anello ℤ di numeri interi è un oggetto iniziale nella categoria di anelli e omomorfismi, ovvero che per ogni anello ℝ esiste un omomorfismo unico ℤ → ℝ. Visto in questo modo, ℤ è dato solo all'isomorfismo. Nello stesso spirito, non si dovrebbe dire che ℤ è contenuto nel campo ℚ dei numeri razionali, ma solo che l'omomorfismo ℤ → ℚ è uno a uno. Allo stesso modo, non ha senso parlare dell'intersezione teorica insieme di π e radice quadrata di √-1, se entrambi sono espressi come insiemi di insiemi di insiemi (all'infinito).

Di particolare interesse per le fondazioni e altrove sono i funzionari aggiunti (F, G). Si tratta di coppie di funzioni tra due categorie ? e ℬ, che vanno in direzioni opposte in modo tale che esiste una corrispondenza uno-a-uno tra l'insieme di frecce F (A) → B in ℬ e l'insieme di frecce A → G (B) in ?, ovvero in modo tale che gli insiemi siano isomorfi.