Aritmetica, branca della matematica in cui i numeri, le relazioni tra i numeri e le osservazioni sui numeri vengono studiati e utilizzati per risolvere i problemi.
L'aritmetica (un termine derivato dalla parola greca arithmos, "numero") si riferisce generalmente agli aspetti elementari della teoria dei numeri, delle arti del ciclo mestruale (misurazione) e del calcolo numerico (cioè i processi di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione ai poteri ed estrazione delle radici). Il suo significato, tuttavia, non è stato uniforme nell'uso matematico. Un eminente matematico tedesco, Carl Friedrich Gauss, in Disquisitiones Arithmeticae (1801), e alcuni matematici moderni hanno usato il termine per includere argomenti più avanzati. Il lettore interessato a quest'ultimo è riferito alla teoria dei numeri degli articoli.
Definizioni e leggi fondamentali
Numeri naturali
In una raccolta (o insieme) di oggetti (o elementi), l'atto di determinare il numero di oggetti presenti è chiamato conteggio. I numeri così ottenuti sono chiamati numeri di conteggio o numeri naturali (1, 2, 3,
). Per un set vuoto, non è presente alcun oggetto e il conteggio restituisce il numero 0 che, aggiunto ai numeri naturali, produce quelli che sono noti come numeri interi.
Se gli oggetti di due set possono essere abbinati in modo tale che ogni elemento di ciascun set sia accoppiato in modo univoco con un elemento dell'altro set, si dice che i set sono uguali o equivalenti. Il concetto di insiemi equivalenti è alla base delle basi della matematica moderna ed è stato introdotto nell'istruzione primaria, in particolare come parte della "nuova matematica" (vedi la figura) che è stata alternativamente acclamata e denigrata da quando è apparsa negli anni '60. Vedi teoria degli insiemi.
Aggiunta e moltiplicazione
Combinando insieme due insiemi di oggetti, che contengono elementi aeb, si forma un nuovo insieme che contiene oggetti a + b = c. Il numero c è chiamato la somma di aeb; e ciascuno di questi è chiamato summand. L'operazione di formazione della somma si chiama addizione, il simbolo + viene letto come "più". Questa è l'operazione binaria più semplice, in cui binario si riferisce al processo di combinazione di due oggetti.
Dalla definizione di conteggio è evidente che l'ordine delle somme può essere modificato e l'ordine dell'operazione di addizione può essere modificato, quando applicato a tre somme, senza influire sulla somma. Questi sono chiamati rispettivamente la legge commutativa dell'addizione e la legge associativa dell'addizione.
Se esiste un numero naturale k tale che a = b + k, si dice che a è maggiore di b (scritto a> b) e che b è minore di a (scritto b <a). Se aeb sono due numeri naturali, allora a = b oppure a> b oppure a <b (la legge della tricotomia).
Dalle leggi di cui sopra, è evidente che una somma ripetuta come 5 + 5 + 5 è indipendente dal modo in cui sono raggruppati i riassunti; può essere scritto 3 × 5. Pertanto, viene definita una seconda operazione binaria chiamata moltiplicazione. Il numero 5 è chiamato multiplicando; il numero 3, che indica il numero di somme, è chiamato il moltiplicatore; e il risultato 3 × 5 è chiamato prodotto. Il simbolo × di questa operazione viene letto "volte". Se per indicare i numeri vengono utilizzate lettere come aeb, il prodotto a × b viene spesso scritto a ∙ b o semplicemente ab.
Se sono scritte tre righe di cinque punti ciascuna, come illustrato di seguito, è chiaro che il numero totale di punti nell'array è 3 × 5, o 15. Questo stesso numero di punti può evidentemente essere scritto in cinque righe di tre punti ciascuno, da cui 5 × 3 = 15. L'argomento è generale, portando alla legge che l'ordine dei moltiplicatori non influisce sul prodotto, chiamato legge commutativa della moltiplicazione. Ma è da notare che questa legge non si applica a tutte le entità matematiche. In effetti, gran parte della formulazione matematica della fisica moderna, ad esempio, dipende in modo cruciale dal fatto che alcune entità non commutano.
Con l'uso di una matrice tridimensionale di punti, diventa evidente che l'ordine di moltiplicazione applicato a tre numeri non influisce sul prodotto. Tale legge è chiamata la legge associativa della moltiplicazione. Se i 15 punti scritti sopra sono separati in due set, come mostrato, quindi il primo set è composto da tre colonne di tre punti ciascuna o 3 × 3 punti; la seconda serie è composta da due colonne di tre punti ciascuna o 2 × 3 punti; la somma (3 × 3) + (2 × 3) è composta da 3 + 2 = 5 colonne di tre punti ciascuna o (3 + 2) × 3 punti. In generale, si può dimostrare che la moltiplicazione di una somma per un numero è la stessa della somma di due prodotti appropriati. Tale legge è chiamata legge distributiva.
Interi
La sottrazione non è stata introdotta per il semplice motivo che può essere definita come l'inverso dell'addizione. Pertanto, la differenza a - b di due numeri aeb è definita come una soluzione x dell'equazione b + x = a. Se un sistema numerico è limitato ai numeri naturali, le differenze non devono sempre esistere, ma, se lo fanno, le cinque leggi di base dell'aritmetica, come già discusso, possono essere utilizzate per dimostrare che sono uniche. Inoltre, le leggi delle operazioni di addizione e moltiplicazione possono essere estese per applicarle alle differenze. I numeri interi (incluso zero) possono essere estesi per includere la soluzione di 1 + x = 0, ovvero il numero −1, nonché tutti i prodotti della forma −1 × n, in cui n è un numero intero. La raccolta estesa di numeri è chiamata numeri interi, di cui i numeri interi positivi sono gli stessi dei numeri naturali. I numeri che sono stati recentemente introdotti in questo modo sono chiamati numeri interi negativi.
