Giochi a somma variabile per due persone
Gran parte dei primi lavori nella teoria dei giochi riguardava giochi a somma costante per due persone perché sono i più facili da trattare matematicamente. I giocatori in tali giochi hanno interessi diametralmente opposti e c'è un consenso su ciò che costituisce una soluzione (come dato dal teorema minimax). La maggior parte dei giochi che sorgono in pratica, tuttavia, sono giochi a somma variabile; i giocatori hanno interessi sia comuni che opposti. Ad esempio, un acquirente e un venditore sono impegnati in un gioco a somma variabile (l'acquirente desidera un prezzo basso e il venditore uno alto, ma entrambi vogliono fare un affare), così come due nazioni ostili (potrebbero non essere d'accordo su numerosi problemi, ma entrambi guadagnano se evitano di andare in guerra).
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Alcune proprietà "ovvie" dei giochi a somma costante per due persone non sono valide nei giochi a somma variabile. Nei giochi a somma costante, ad esempio, entrambi i giocatori non possono guadagnare (possono o non possono perdere, ma non possono entrambi guadagnare) se sono privati di alcune delle loro strategie. Nei giochi a somma variabile, tuttavia, i giocatori possono guadagnare se alcune delle loro strategie non sono più disponibili. Questo all'inizio potrebbe non sembrare possibile. Si potrebbe pensare che se un giocatore beneficiasse del non usare determinate strategie, il giocatore semplicemente eviterebbe quelle strategie e sceglierebbe altre più vantaggiose, ma non è sempre così. Ad esempio, in una regione con un alto tasso di disoccupazione un lavoratore può essere disposto ad accettare un salario inferiore per ottenere o mantenere un posto di lavoro, ma se una legge sul salario minimo rende illegale tale opzione, il lavoratore può essere "costretto" ad accettare un salario più elevato.
L'effetto della comunicazione rivela in particolare la differenza tra giochi a somma costante e giochi a somma variabile. Nei giochi a somma costante non aiuta mai un giocatore a fornire informazioni sull'avversario e non fa mai male a un giocatore apprendere in anticipo la strategia ottimale di un avversario (pura o mista). Tuttavia, queste proprietà non valgono necessariamente nei giochi a somma variabile. In effetti, un giocatore può volere che un avversario sia ben informato. In una disputa sulla gestione del lavoro, ad esempio, se il sindacato è pronto a scioperare, è necessario che il sindacato informi la direzione e quindi possibilmente raggiungere il suo obiettivo senza sciopero. In questo esempio, la gestione non è danneggiata dalle informazioni anticipate (anch'esse avvantaggiate evitando uno sciopero costoso). In altri giochi a somma variabile, a volte conoscere la strategia di un avversario può essere svantaggioso. Ad esempio, un ricattatore può beneficiare solo se informa per la prima volta la sua vittima che lo danneggerà, generalmente rivelando alcuni dettagli sensibili e segreti della vita della vittima, se i suoi termini non vengono rispettati. Perché una tale minaccia sia credibile, la vittima deve temere la divulgazione e credere che il ricattatore sia in grado di eseguire la minaccia. (La credibilità delle minacce è una questione studiata dalla teoria dei giochi.) Sebbene un ricattatore possa essere in grado di danneggiare una vittima senza che avvenga alcuna comunicazione, un ricattatore non può estorcere una vittima a meno che non informi adeguatamente la vittima delle sue intenzioni e delle sue conseguenze. Pertanto, la conoscenza della vittima sulla strategia del ricattatore, inclusa la sua capacità e volontà di attuare la minaccia, funziona a vantaggio del ricattatore.
Giochi cooperativi contro non cooperativi
La comunicazione è inutile nei giochi a somma costante perché non esiste alcuna possibilità di guadagno reciproco dalla cooperazione. Nei giochi a somma variabile, d'altra parte, la capacità di comunicare, il grado di comunicazione e persino l'ordine in cui i giocatori comunicano possono avere una profonda influenza sul risultato.
Nel gioco a somma variabile mostrato nella Tabella 3, ciascuna voce della matrice è composta da due numeri. (Poiché la ricchezza combinata dei giocatori non è costante, è impossibile dedurre il payoff di un giocatore dal payoff dell'altro; di conseguenza, devono essere forniti i payoff di entrambi i giocatori.) Il primo numero in ogni voce è il payoff della riga giocatore (giocatore A), e il secondo numero è il payoff per il giocatore colonna (giocatore B).
In questo esempio sarà a vantaggio del giocatore A se il gioco è cooperativo e al vantaggio del giocatore B se il gioco non è cooperativo. Senza comunicazione, supponi che ogni giocatore applichi il principio della "cosa certa": massimizza il suo payoff minimo determinando il minimo che riceverà qualunque cosa faccia il suo avversario. In tal modo, A determina che farà meglio a scegliere la strategia I, indipendentemente da cosa faccia B: se B sceglie i, A otterrà 3 indipendentemente da ciò che fa A; se B sceglie ii, A otterrà 4 anziché 3. B determina allo stesso modo che farà meglio a scegliere i, qualunque cosa faccia A. Selezionando queste due strategie, A otterrà 3 e B otterrà 4 a (3, 4).
In una partita cooperativa, tuttavia, A può minacciare di giocare a II a meno che B accetti di giocare ii. Se B è d'accordo, il suo payoff sarà ridotto a 3 mentre il payoff di A salirà a 4 a (4, 3); se B non è d'accordo e A esegue la sua minaccia, A non guadagnerà né perderà a (3, 2) rispetto a (3, 4), ma B otterrà un payoff di solo 2. Chiaramente, A non sarà influenzato se B non è d'accordo e quindi ha una minaccia credibile; B sarà interessato e ovviamente farà meglio a (4, 3) che a (3, 2) e dovrebbe conformarsi alla minaccia.
A volte entrambi i giocatori possono guadagnare dalla capacità di comunicare. Due piloti che cercano di evitare una collisione a mezz'aria trarranno chiari benefici se possono comunicare e il grado di comunicazione consentito tra loro può persino determinare se si schianteranno o meno. Generalmente, più interessi dei due giocatori coincidono, più diventa importante e vantaggiosa la comunicazione.
La soluzione a un gioco cooperativo in cui i giocatori hanno un obiettivo comune implica il coordinamento efficace delle decisioni dei giocatori. Questo è relativamente semplice, poiché sta trovando la soluzione ai giochi a somma costante con un punto di sella. Per i giochi in cui i giocatori hanno interessi sia comuni che contrastanti - in altre parole, nella maggior parte dei giochi a somma variabile, siano essi cooperativi o non cooperativi - ciò che costituisce una soluzione è molto più difficile da definire e rendere convincente.
