Ipotesi di Riemann, in teoria dei numeri, ipotesi del matematico tedesco Bernhard Riemann in merito alla posizione delle soluzioni alla funzione zeta di Riemann, che è collegata al teorema dei numeri primi e ha importanti implicazioni per la distribuzione dei numeri primi. Riemann includeva l'ipotesi in un documento, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sul numero di numeri primi meno di una determinata quantità"), pubblicato nell'edizione di novembre 1859 di Monatsberichte der Berliner Akademie ("Rassegna mensile dell'Accademia di Berlino ”).
La funzione zeta è definita come la serie infinita ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, o, in notazione più compatta, , dove la somma (Σ) dei termini per n va da 1 a infinito attraverso gli interi positivi s è un intero positivo fisso maggiore di 1. La funzione zeta fu studiata per la prima volta dal matematico svizzero Leonhard Euler nel 18 ° secolo. (Per questo motivo, a volte viene chiamata la funzione zeta di Eulero. Per ζ (1), questa serie è semplicemente la serie armonica, nota fin dall'antichità per aumentare senza limiti - cioè, la sua somma è infinita.) Eulero raggiunse la fama istantanea quando dimostrato nel 1735 che ζ (2) = π 2 /6, un problema che aveva eluso i più grandi matematici dell'epoca, tra cui la famiglia svizzera Bernoulli (Jakob, Johann, e Daniel). Più in generale, Eulero scoprì (1739) una relazione tra il valore della funzione zeta per gli interi pari e i numeri di Bernoulli, che sono i coefficienti dell'espansione della serie di Taylor di x / (e x - 1). (Vedi anche funzione esponenziale.) Ancora più sorprendente, nel 1737 Eulero scoprì una formula relativa alla funzione zeta, che comporta la somma di una sequenza infinita di termini contenenti gli interi positivi e un prodotto infinito che coinvolge ogni numero primo:
Riemann ha esteso lo studio della funzione zeta per includere i numeri complessi x + iy, dove i = radice quadrata di √ 1, ad eccezione della linea x = 1 nel piano complesso. Riemann sapeva che la funzione zeta è uguale a zero per tutti gli interi pari negativi −2, −4, −6,
(i cosiddetti zeri banali) e che ha un numero infinito di zeri nella striscia critica di numeri complessi che rientrano strettamente tra le linee x = 0 e x = 1. Sapeva anche che tutti gli zeri non banali sono simmetrici rispetto al linea critica x = 1 / 2. Riemann ipotizzò che tutti gli zeri non banali si trovassero sulla linea critica, una congettura che in seguito divenne nota come l'ipotesi di Riemann.
Nel 1914 matematico inglese Godfrey Harold Hardy provato che un numero infinito di soluzioni di ζ (s) = 0 esistono sulla linea critica x = 1 / 2. Successivamente è stato dimostrato da vari matematici che gran parte delle soluzioni deve trovarsi sulla linea critica, sebbene le frequenti "prove" che tutte le soluzioni non banali siano su di essa siano state imperfette. Anche i computer sono stati usati per testare soluzioni, con i primi 10 trilioni di soluzioni non banali che si trovano sulla linea critica.
Una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann avrebbe conseguenze di vasta portata per la teoria dei numeri e per l'uso dei numeri primi nella crittografia.
L'ipotesi di Riemann è stata a lungo considerata il più grande problema irrisolto in matematica. Era uno dei 10 problemi matematici irrisolti (23 nell'indirizzo stampato) presentato come una sfida per i matematici del 20 ° secolo dal matematico tedesco David Hilbert al Secondo Congresso Internazionale di Matematica a Parigi l'8 agosto 1900. Nel 2000 il matematico americano Stephen Smale ha aggiornato l'idea di Hilbert con un elenco di problemi importanti per il 21 ° secolo; l'ipotesi di Riemann era la numero uno. Nel 2000 è stato designato un problema del millennio, uno dei sette problemi matematici selezionati dal Clay Mathematics Institute di Cambridge, Massachusetts, USA, per un premio speciale. La soluzione per ogni problema del millennio vale $ 1 milione. Nel 2008 l'Agenzia per i progetti di ricerca avanzata della difesa degli Stati Uniti (DARPA) lo ha elencato come una delle sfide matematiche della DARPA, 23 problemi matematici per i quali sollecitava proposte di ricerca per il finanziamento: “Sfida matematica diciannove: risolvere l'ipotesi di Riemann. Il Santo Graal della teoria dei numeri."
