Fisica della meccanica dei fluidi

Onde su acque profonde

Una soluzione particolare dell'equazione di Laplace che descrive il moto ondoso sulla superficie di un lago o dell'oceano è

In questo caso l'asse x è la direzione di propagazione e l'asse z è verticale; z = 0 descrive la superficie libera dell'acqua quando è indisturbata e z = −D descrive la superficie inferiore; ϕ ₀ è una costante arbitraria che determina l'ampiezza del movimento; e f è la frequenza delle onde e λ la loro lunghezza d'onda. Se λ è superiore a pochi centimetri, la tensione superficiale è irrilevante e la pressione nel liquido appena sotto la sua superficie libera è atmosferica per tutti i valori di x. Si può dimostrare che in queste circostanze il moto ondoso descritto da (161) è coerente con (157) solo se la frequenza e la lunghezza d'onda sono correlate dall'equazione

e da ciò si può dedurre un'espressione per la velocità delle onde, poiché V = fλ. Per acque poco profonde (D << λ) si ottiene la risposta già citata come equazione (138), ma per acque profonde (D >> λ) la risposta è

Le onde in acque profonde sono evidentemente dispersive e i surfisti fanno affidamento su questo fatto. Una tempesta nel mezzo dell'oceano disturba la superficie in modo caotico che sarebbe inutile per il surf, ma quando le onde componenti viaggiano verso la costa si separano; quelli con lunghezze d'onda lunghe avanzano rispetto a quelli con lunghezze d'onda corte perché viaggiano più velocemente. Di conseguenza, le onde sembrano ben regolari quando arrivano.

Chiunque abbia osservato le onde dietro una nave in movimento saprà che sono confinati in un'area a forma di V della superficie dell'acqua, con la nave al suo apice. Le onde sono particolarmente prominenti sui bracci della V, ma possono anche essere discernute tra questi bracci in cui le creste dell'onda si curvano nel modo indicato nella Figura 12. Sembra che si creda ampiamente che l'angolo della V diventi più acuto in quanto la barca accelera, molto nel modo in cui l'onda d'urto conica che accompagna un proiettile supersonico diventa più acuta (vedi Figura 8). Questo non è il caso; il carattere dispersivo delle onde sulle acque profonde è tale che il V ha un angolo fisso di 2 sin ^-1 (¹ / ₃) = 39 °. Thomson (Lord Kelvin) è stato il primo a spiegarlo, e quindi l'area a forma di V è ora nota come zeppa di Kelvin.

Una versione dell'argomento di Thomson è illustrata dal diagramma nella Figura 13. Qui S (la "sorgente") rappresenta la prua della nave che si muove da sinistra a destra con velocità uniforme U e le linee etichettate C, C ′, C ″, Ecc., Rappresentano un insieme di creste di onde parallele che si muovono anche da sinistra a destra. Si può dimostrare che S creerà questo insieme di stemmi se, ma solo se, cavalca continuamente su quello etichettato C. (Si può anche dimostrare che, sebbene gli stemmi nell'insieme continuino indefinitamente alla sinistra di C, lì non può essere nessuno a destra di questo.) La condizione che S e C si muovono insieme indica che esiste una relazione tra lunghezza d'onda λ e inclinazione α espressa dall'equazione

Questa condizione può evidentemente essere soddisfatta da molte altre serie di creste oltre a quella rappresentata dalle linee complete nella figura, ad esempio dall'insieme con una lunghezza d'onda leggermente più corta λ che è rappresentata da linee spezzate. Quando si prendono in considerazione tutti gli insiemi che soddisfano (164) e hanno lunghezze d'onda intermedie tra λ e λ ′, diventa evidente che sulla maggior parte dell'area dietro la sorgente interferiscono in modo distruttivo. Si rafforzano l'un l'altro, tuttavia, vicino alle intersezioni che sono inanellate nella figura. Queste intersezioni si trovano su una linea attraverso S di inclinazione β, dove

Ne consegue che, anche se l'angolo α può assumere qualsiasi valore tra 90 ° (corrispondente a λ = λ _max = 2πU ² / g) e di zero, tan β può mai superare ¹ / ₂ radice quadrata of√2, e peccato β può mai superare ¹ / ₃.

Le navi perdono energia a causa delle onde del cuneo Kelvin e sperimentano una resistenza aggiuntiva in questo senso. La resistenza è particolarmente elevata quando il sistema ondulatorio creato dall'arco, dove l'acqua viene spinta da parte, rafforza il sistema ondulatorio creato dalla "antisorgente" a poppa, dove l'acqua si richiude. Tale rinforzo può verificarsi quando la lunghezza effettiva della barca, L, è uguale a (2n + 1) λ _max / 2 (con n = 0, 1, 2, …) e quindi quando il numero di Froude, U / Radice quadrata di√ (Lg), assume uno dei valori [Radice quadrata di√ (2n + 1) π] ⁻¹. Tuttavia, una volta che una barca è stata accelerata oltre U = radice quadrata di√ (Lg / π), le onde di prua e di poppa tendono ad annullarsi e la resistenza risultante dalla creazione dell'onda diminuisce.

Le onde in acque profonde la cui lunghezza d'onda è di qualche centimetro o meno sono generalmente chiamate increspature. In tali onde, le differenze di pressione sulla superficie curva dell'acqua associate alla tensione superficiale (vedi equazione [129]) non sono trascurabili e l'espressione appropriata per la loro velocità di propagazione è

La velocità dell'onda è quindi grande per lunghezze d'onda molto brevi e anche per lunghezze molto lunghe. Per l'acqua a temperature normali, V ha un valore minimo di circa 0,23 metri al secondo, dove la lunghezza d'onda è di circa 17 millimetri, e segue (si noti che l'equazione [164] non ha radice reale per α a meno che U non superi V) che un oggetto si muove attraverso l'acqua non può creare increspature a meno che la sua velocità non superi 0,23 metri al secondo. Allo stesso modo, un vento che si sposta sulla superficie dell'acqua non crea increspature a meno che la sua velocità non superi un certo valore critico, ma questo è un fenomeno più complicato e la velocità critica in questione è nettamente superiore.