Ricette Pi

A Eudosso di Cnido (ca. 400–350 a.C.) va l'onore di essere il primo a dimostrare che l'area di un cerchio è proporzionale al quadrato del suo raggio. Nella notazione algebrica di oggi, quella proporzionalità è espressa dalla formula familiare A = πr ². Tuttavia la costante di proporzionalità, π, nonostante la sua familiarità, è altamente misteriosa e la ricerca di comprenderla e di trovare il suo valore esatto ha occupato i matematici per migliaia di anni. Un secolo dopo Eudosso Archimede trovato la prima buona approssimazione di π: 3 ¹⁰ / ₇₁ <π <3 ¹ / ₇. Ha raggiunto questo obiettivo approssimando un cerchio con un poligono a 96 facce (vedi animazione). Sono state trovate approssimazioni ancora migliori usando i poligoni con più lati, ma questi servivano solo ad approfondire il mistero, perché non era possibile raggiungere alcun valore esatto e non si osservava alcun modello nella sequenza delle approssimazioni.

Una soluzione sorprendente del mistero è stato scoperto da matematici indiani circa 1500 ce: π può essere rappresentata da l'infinito, ma incredibilmente semplice, serie ^π / ₄ = 1 - ¹ / ₃ + ¹ / ₅ - ¹ / ₇ + ⋯.hanno scoperto questo come un caso speciale della serie per la funzione arcotangente: tan ^-1 (x) = x - ^{x 3 / ₃ + x 5 / ₅ - x 7 / ₇ + ⋯.}

I singoli scopritori di questi risultati non sono noti per certo; alcuni studiosi li attribuiscono a Nilakantha Somayaji, altri a Madhava. Le prove indiane sono strutturalmente simili alle prove scoperte in seguito in Europa da James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz e Jakob Bernoulli. La differenza principale è che, dove gli europei avevano il vantaggio del teorema fondamentale del calcolo, gli indiani dovevano trovare limiti di somme della forma

Prima della riscoperta della serie tangente inversa di Gregorio verso il 1670, furono scoperte altre formule per π in Europa. Nel 1655 John Wallis ha scoperto il prodotto infinito ^π / ₄ = ² / ₃ ∙ ⁴ / ₃ ∙ ⁴ / ₅ ∙ ⁶ / ₅ ∙ ⁶ / ₇ ⋯, e il suo collega William Brouncker ha trasformato questa in frazione continua infinita

Infine, in Introduzione di Leonhard Euler per analisi dell'Infinito (1748), la serie di ^π / ₄ = 1 - ¹ / ₃ + ¹ / ₅ - ¹ / ₇ + ⋯ si trasforma in frazione continua di Brouncker, dimostrando che tutte e tre le formule sono in alcuni hanno lo stesso senso.

La frazione continua infinita di Brouncker è particolarmente significativa perché suggerisce che π non è una frazione ordinaria - in altre parole, che π è irrazionale. Proprio questa idea fu usata nella prima dimostrazione che π è irrazionale, data da Johann Lambert nel 1767.