Superficie algebrica, nello spazio tridimensionale, una superficie la cui equazione è f (x, y, z) = 0, con f (x, y, z) un polinomio in x, y, z. L'ordine della superficie è il grado dell'equazione polinomiale. Se la superficie è del primo ordine, è un piano. Se la superficie è di ordine due, viene chiamata superficie quadrica. Ruotando la superficie, la sua equazione può essere messa nella formaAx 2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + Fz = G.
Se A, B, C non sono tutti zero, l'equazione può generalmente essere semplificata in formax 2 + di 2 + cz 2 = 1. Questa superficie è chiamata ellissoide se a, b e c sono positivi. Se uno dei coefficienti è negativo, la superficie è un iperboloide di un foglio; se due dei coefficienti sono negativi, la superficie è un iperboloide di due fogli. Un iperboloide di un foglio ha una punta a sella (un punto su una superficie curva a forma di sella in cui le curvature in due piani reciprocamente perpendicolari hanno segni opposti, proprio come una sella è curva in una direzione e in un'altra in una direzione).
Se A, B, C sono probabilmente zero, allora possono essere prodotti cilindri, coni, piani e paraboloidi ellittici o iperbolici. Esempi di questi ultimi sono z = x 2 + y 2 e z = x 2 −y 2, rispettivamente. Attraverso ogni punto di un passaggio quadratico passano due linee rette in superficie. Una superficie cubica è di ordine tre. Ha la proprietà che 27 linee si trovano su di esso, ognuna incontrando altre 10. In generale, una superficie dell'ordine di quattro o più non contiene linee rette.
