Storia dell'analisi
I Greci incontrano magnitudini continue
L'analisi consiste in quelle parti della matematica in cui il cambiamento continuo è importante. Questi includono lo studio del movimento e la geometria di curve e superfici lisce, in particolare il calcolo di tangenti, aree e volumi. I matematici greci antichi hanno fatto grandi progressi sia nella teoria che nella pratica dell'analisi. La teoria fu forzata su di loro circa 500 a.C. dalla scoperta pitagorica di magnitudini irrazionali e circa 450 a.C. dai paradossi del moto di Zenone.
I pitagorici e i numeri irrazionali
Inizialmente, i Pitagorici credevano che tutte le cose potessero essere misurate dai numeri naturali discreti (1, 2, 3,
) e i loro rapporti (frazioni ordinarie o numeri razionali). Questa convinzione fu scossa, tuttavia, dalla scoperta che la diagonale di un quadrato unitario (cioè un quadrato i cui lati hanno una lunghezza di 1) non può essere espressa come un numero razionale. Questa scoperta fu provocata dal loro teorema di Pitagora, che stabilì che il quadrato sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati sugli altri due lati - nella notazione moderna, c 2 = a 2 + b 2. In un'unità quadrata, la diagonale è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, con i lati a = b = 1; quindi, la sua misura è la radice quadrata di √2 - un numero irrazionale. Contro le loro stesse intenzioni, i Pitagorici avevano così dimostrato che i numeri razionali non erano sufficienti per misurare anche semplici oggetti geometrici. (Vedi la barra laterale: Incommensurabili). La loro reazione fu quella di creare un'aritmetica di segmenti di linea, come si trova nel Libro II degli Elementi di Euclide (c. 300 a.C.), che includeva un'interpretazione geometrica dei numeri razionali. Per i greci, i segmenti di linea erano più generali dei numeri, perché includevano magnitudini continue e discrete.
In effetti, la radice quadrata di √2 può essere correlata ai numeri razionali solo attraverso un processo infinito. Ciò è stato realizzato da Euclide, che ha studiato l'aritmetica di numeri razionali e segmenti di linea. Il suo famoso algoritmo euclideo, quando applicato a una coppia di numeri naturali, conduce in un numero finito di passaggi al loro massimo comune divisore. Tuttavia, se applicato a una coppia di segmenti di linea con un rapporto irrazionale, come la radice quadrata di √2 e 1, non riesce a terminare. Euclide ha persino usato questa proprietà di non-termine come criterio per l'irrazionalità. Pertanto, l'irrazionalità ha sfidato il concetto greco di numero costringendoli a gestire processi infiniti.
I paradossi di Zenone e il concetto di movimento
Proprio come la radice quadrata di √2 era una sfida al concetto di numero dei Greci, i paradossi di Zenone erano una sfida al loro concetto di movimento. Nella sua Fisica (350 a.C. circa), Aristotele citò Zenone dicendo:
Non c'è movimento perché ciò che viene spostato deve arrivare a metà [del percorso] prima di arrivare alla fine.
Gli argomenti di Zenone sono noti solo tramite Aristotele, che li citò principalmente per confutarli. Presumibilmente, Zenone intendeva dire che, per arrivare ovunque, bisogna prima andare a metà strada e prima di quel quarto di strada e prima di quell'ottavo di strada e così via. Poiché questo processo di dimezzare le distanze andrebbe all'infinito (un concetto che i Greci non avrebbero accettato il più possibile), Zenone affermò di "provare" che la realtà consiste in un essere immutabile. Tuttavia, nonostante il loro odio per l'infinito, i Greci scoprirono che il concetto era indispensabile nella matematica delle magnitudini continue. Quindi ragionarono sull'infinito il più finemente possibile, in un quadro logico chiamato teoria delle proporzioni e usando il metodo dell'esaurimento.
La teoria delle proporzioni fu creata da Eudosso intorno al 350 a.C. e conservata nel Libro V degli Elementi di Euclide. Stabilì una relazione esatta tra magnitudini razionali e magnitudini arbitrarie definendo due magnitudini uguali se le magnitudini razionali inferiori a loro fossero uguali. In altre parole, due magnitudini erano diverse solo se vi era una magnitudine razionale strettamente tra loro. Questa definizione servì i matematici per due millenni e aprì la strada all'aritmetizzazione dell'analisi nel 19 ° secolo, in cui i numeri arbitrari erano rigorosamente definiti in termini di numeri razionali. La teoria delle proporzioni è stata la prima trattazione rigorosa del concetto di limite, un'idea che è al centro dell'analisi moderna. In termini moderni, la teoria di Eudosso definiva le magnitudini arbitrarie come limiti delle magnitudini razionali e i teoremi di base sulla somma, la differenza e il prodotto delle magnitudini erano equivalenti ai teoremi sulla somma, la differenza e il prodotto dei limiti.
