Diophantus, dal nome Diophantus di Alessandria, (fiorì intorno al 250 d.C.), matematico greco, famoso per il suo lavoro in algebra.
teoria dei numeri: Diophantus
Di successivi matematici greci, particolarmente degno di nota è Diophantus of Alexandria (fiorito intorno al 250), autore
Ciò che poco si sa della vita di Diophantus è circostanziale. Dall'appellativo “di Alessandria” sembra che abbia lavorato nel principale centro scientifico dell'antico mondo greco; e poiché non è menzionato prima del IV secolo, sembra probabile che abbia prosperato durante il III secolo. Un epigramma aritmetico dell'Antologia Graeca della tarda antichità, preteso di ripercorrere alcuni punti di riferimento della sua vita (matrimonio a 33 anni, nascita di suo figlio a 38 anni, morte di suo figlio quattro anni prima della sua a 84 anni), potrebbe essere inventata. Due opere ci sono pervenute sotto il suo nome, entrambe incomplete. Il primo è un piccolo frammento di numeri poligonali (un numero è poligonale se lo stesso numero di punti può essere organizzato sotto forma di un poligono regolare). Il secondo, un trattato ampio ed estremamente influente su cui riposa tutta la fama antica e moderna di Diophantus, è la sua Arithmetica. La sua importanza storica è duplice: è la prima opera conosciuta ad impiegare l'algebra in uno stile moderno e ha ispirato la rinascita della teoria dei numeri.
L'Arithmetica inizia con un'introduzione indirizzata a Dionigi - probabilmente San Dionigi di Alessandria. Dopo alcune generalità sui numeri, Diophantus spiega il suo simbolismo - usa simboli per l'ignoto (corrispondente alla nostra x) e i suoi poteri, positivi o negativi, così come per alcune operazioni aritmetiche - la maggior parte di questi simboli sono abbreviazioni chiaramente scribali. Questa è la prima e unica occorrenza del simbolismo algebrico prima del XV secolo. Dopo aver insegnato la moltiplicazione dei poteri dell'ignoto, Diophantus spiega la moltiplicazione dei termini positivi e negativi e quindi come ridurre un'equazione a uno con solo termini positivi (la forma standard preferita nell'antichità). Con questi preliminari fuori mano, Diophantus procede ai problemi. In effetti, l'Arithmetica è essenzialmente una raccolta di problemi con le soluzioni, circa 260 nella parte ancora esistente.
L'introduzione afferma inoltre che il lavoro è diviso in 13 libri. Sei di questi libri erano conosciuti in Europa alla fine del XV secolo, trasmessi in greco da studiosi bizantini e numerati da I a VI; altri quattro libri furono scoperti nel 1968 in una traduzione araba del IX secolo di Qusṭā ibn Lūqā. Tuttavia, il testo arabo manca di simbolismo matematico e sembra essere basato su un successivo commento greco - forse quello di Ipazia (c. 370–415) - che diluì l'esposizione di Diophantus. Ora sappiamo che la numerazione dei libri greci deve essere modificata: Arithmetica consiste quindi di libri da I a III in greco, libri da IV a VII in arabo e, presumibilmente, libri da VIII a X in greco (gli ex libri greci da IV a VI). È improbabile un'ulteriore rinumerazione; è abbastanza certo che i bizantini conoscevano solo i sei libri che trasmettevano e gli arabi non più dei libri da I a VII nella versione commentata.
I problemi del Libro I non sono caratteristici, essendo per lo più semplici problemi usati per illustrare la resa dei conti algebrica. Le caratteristiche distintive dei problemi di Diophantus appaiono nei libri successivi: sono indeterminate (avendo più di una soluzione), sono di secondo grado o riducibili al secondo grado (la massima potenza a termini variabili è 2, cioè x 2) e termina con la determinazione di un valore razionale positivo per l'ignoto che renderà una data espressione algebrica un quadrato numerico o talvolta un cubo. (Nel suo libro Diophantus usa il "numero" per riferirsi a quelli che ora vengono chiamati numeri positivi e razionali; quindi, un numero quadrato è il quadrato di un numero positivo e razionale.) I libri II e III insegnano anche metodi generali. In tre problemi del libro II viene spiegato come rappresentare: (1) un dato numero quadrato come somma dei quadrati di due numeri razionali; (2) qualsiasi dato numero non quadrato, che è la somma di due quadrati noti, come somma di altri due quadrati; e (3) un dato numero razionale come differenza di due quadrati. Mentre il primo e il terzo problema sono dichiarati in generale, la presunta conoscenza di una soluzione nel secondo problema suggerisce che non tutti i numeri razionali sono la somma di due quadrati. Diophantus in seguito fornisce la condizione per un numero intero: il numero dato non deve contenere alcun fattore primo della forma 4n + 3 elevato a una potenza dispari, dove n è un numero intero non negativo. Tali esempi hanno motivato la rinascita della teoria dei numeri. Sebbene Diophantus sia in genere soddisfatto di ottenere una soluzione a un problema, menziona occasionalmente in problemi l'esistenza di un numero infinito di soluzioni.
Nei libri da IV a VII Diophantus estende i metodi di base come quelli descritti sopra a problemi di grado superiore che possono essere ridotti a un'equazione binomiale di primo o secondo grado. Le prefazioni di questi libri affermano che il loro scopo è quello di fornire al lettore "esperienza e abilità". Sebbene questa recente scoperta non aumenti la conoscenza della matematica di Diophantus, altera la valutazione della sua abilità pedagogica. I libri VIII e IX (presumibilmente i libri greci IV e V) risolvono problemi più difficili, anche se i metodi di base rimangono gli stessi. Ad esempio, un problema comporta la scomposizione di un dato numero intero nella somma di due quadrati arbitrariamente vicini l'uno all'altro. Un problema simile comporta la scomposizione di un dato numero intero nella somma di tre quadrati; in esso Diophantus esclude il caso impossibile di numeri interi della forma 8n + 7 (di nuovo, n è un numero intero non negativo). Il libro X (presumibilmente il libro greco VI) si occupa di triangoli rettangolari con lati razionali e soggetti a varie ulteriori condizioni.
Il contenuto dei tre libri mancanti dell'Arithmetica può essere ipotizzato dall'introduzione, dove, dopo aver detto che la riduzione di un problema dovrebbe "se possibile" concludersi con un'equazione binomiale, Diophantus aggiunge che "in seguito" tratterà il caso di un'equazione trinomiale: una promessa non mantenuta nella parte esistente.
Sebbene disponesse di strumenti algebrici limitati, Diophantus riuscì a risolvere una grande varietà di problemi e gli aritmetici ispirarono matematici arabi come al-Karajī (980-1030 ca.) ad applicare i suoi metodi. L'estensione più famosa dell'opera di Diophantus fu di Pierre de Fermat (1601-1665), il fondatore della moderna teoria dei numeri. A margine della sua copia di Arithmetica, Fermat scrisse varie osservazioni, proponendo nuove soluzioni, correzioni e generalizzazioni dei metodi di Diophantus e alcune congetture come l'ultimo teorema di Fermat, che occupò matematici per le generazioni a venire. Le equazioni indeterminate limitate alle soluzioni integrali sono diventate note, anche se in modo inappropriato, come equazioni diofanti.
