Kurt Gödel, Gödel ha anche scritto Goedel, (nato il 28 aprile 1906, Brünn, Austria-Ungheria [ora Brno, Rep. Ceca] - morto il 14 gennaio 1978, Princeton, NJ, USA), matematico, logista e filosofo che ottenne quello che potrebbe essere il più importante risultato matematico del 20 ° secolo: il suo famoso teorema di incompletezza, che afferma che all'interno di qualsiasi sistema matematico assiomatico ci sono proposizioni che non possono essere provate o smentite sulla base degli assiomi all'interno di quel sistema; pertanto, tale sistema non può essere simultaneamente completo e coerente. Questa prova affermò Gödel come uno dei più grandi logici dai tempi di Aristotele, e le sue ripercussioni continuano ad essere sentite e dibattute oggi.
fondamenti della matematica: Gödel
Implicita nel programma di Hilbert era stata la speranza che la nozione sintattica di provabilità avrebbe catturato la nozione semantica della verità. Gödel
Vita in anticipo e carriera
Gödel ha sofferto di parecchi periodi di cattiva salute da bambino, a seguito di un attacco all'età di 6 anni con febbre reumatica, che lo ha spaventato di avere qualche problema cardiaco residuo. La sua preoccupazione per tutta la vita per la sua salute potrebbe aver contribuito alla sua eventuale paranoia, che includeva la pulizia ossessiva dei suoi utensili da mangiare e la preoccupazione per la purezza del suo cibo.
Come austriaco di lingua tedesca, Gödel si ritrovò improvvisamente a vivere nella neo-formata nazione della Cecoslovacchia quando l'impero austro-ungarico fu distrutto alla fine della prima guerra mondiale nel 1918. Sei anni dopo, però, andò a studiare in Austria, presso l'Università di Vienna, dove ha conseguito il dottorato in matematica nel 1929. Si è unito alla facoltà dell'Università di Vienna l'anno successivo.
Durante quel periodo, Vienna era uno dei centri intellettuali del mondo. Ospitava il famoso Circolo di Vienna, un gruppo di scienziati, matematici e filosofi che approvava la visione naturalistica, fortemente empirista e antimetafisica nota come positivismo logico. Il consigliere di tesi di Gödel, Hans Hahn, era uno dei leader del Circolo di Vienna e presentò il suo studente al gruppo. Tuttavia, le opinioni filosofiche di Gödel non avrebbero potuto essere più diverse da quelle dei positivisti. Sottoscrisse platonismo, teismo e dualismo mente-corpo. Inoltre, era anche un po 'instabile mentalmente e soggetto a paranoia, un problema che peggiorava con l'età. Pertanto, il suo contatto con i membri del Circolo di Vienna lo lasciò con la sensazione che il 20 ° secolo fosse ostile alle sue idee.
Teoremi di Gödel
Nella sua tesi di dottorato, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Sulla completezza del calcolo della logica"), pubblicato in una forma leggermente abbreviata nel 1930, Gödel si è rivelato uno dei risultati logici più importanti del secolo, anzi, di sempre - vale a dire, il teorema di completezza, che ha stabilito che la logica classica del primo ordine, o calcolo del predicato, è completa nel senso che tutte le verità logiche del primo ordine possono essere dimostrate in sistemi standard di prova del primo ordine.
Questo, tuttavia, non era nulla in confronto a ciò che Gödel pubblicò nel 1931 — vale a dire, il teorema di incompletezza: “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“Su proposizioni formalmente indecidibili di Principia Mathematica e sistemi correlati”). In parole povere, questo teorema ha stabilito il risultato che è impossibile usare il metodo assiomatico per costruire una teoria matematica, in qualsiasi ramo della matematica, che implichi tutte le verità in quel ramo della matematica. (In Inghilterra, Alfred North Whitehead e Bertrand Russell avevano trascorso anni in un tale programma, che pubblicarono come Principia Mathematica in tre volumi nel 1910, 1912 e 1913.) Ad esempio, è impossibile elaborare una teoria matematica assiomatica che cattura anche tutte le verità sui numeri naturali (0, 1, 2, 3,
). Questo fu un risultato negativo estremamente importante, poiché prima del 1931 molti matematici stavano cercando di fare proprio questo: costruire sistemi di assiomi che potessero essere usati per dimostrare tutte le verità matematiche. In effetti, diversi noti logici e matematici (ad esempio, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) hanno trascorso parti significative della loro carriera in questo progetto. Sfortunatamente per loro, il teorema di Gödel ha distrutto l'intero programma di ricerca assiomatica.
Celebrità internazionale e trasferirsi negli Stati Uniti
Dopo la pubblicazione del teorema di incompletezza, Gödel divenne una figura intellettuale di fama internazionale. Ha viaggiato negli Stati Uniti diverse volte e ha tenuto numerose conferenze alla Princeton University nel New Jersey, dove ha incontrato Albert Einstein. Questo fu l'inizio di una stretta amicizia che sarebbe durata fino alla morte di Einstein nel 1955.
Tuttavia, fu anche durante questo periodo che la salute mentale di Gödel iniziò a peggiorare. Ha sofferto di attacchi di depressione e, dopo l'assassinio di Moritz Schlick, uno dei leader del Circolo di Vienna, da uno studente squilibrato, Gödel ha avuto un esaurimento nervoso. Negli anni a venire ne soffrì di più.
Dopo che la Germania nazista annette l'Austria il 12 marzo 1938, Gödel si trovò in una situazione piuttosto imbarazzante, in parte perché aveva una lunga storia di strette associazioni con vari membri ebrei del Circolo di Vienna (in effetti, era stato attaccato per le strade di Vienna da giovani che pensavano che fosse ebreo) e in parte perché improvvisamente era in pericolo di essere arruolato nell'esercito tedesco. Il 20 settembre 1938, Gödel sposò Adele Nimbursky (nata Porkert) e, quando scoppiò la seconda guerra mondiale un anno dopo, fuggì dall'Europa con sua moglie, prendendo la ferrovia transiberiana attraverso l'Asia, navigando attraverso l'Oceano Pacifico, e poi prendendo un altro treno attraverso gli Stati Uniti fino a Princeton, New Jersey, dove, con l'aiuto di Einstein, prese posizione all'Institute for Advanced Studies (IAS) di recente costituzione. Trascorse il resto della sua vita lavorando e insegnando allo IAS, da cui si ritirò nel 1976. Gödel divenne cittadino americano nel 1948. (Einstein assistette all'udienza perché il comportamento di Gödel era piuttosto imprevedibile, ed Einstein temeva che Gödel potesse sabotare il suo caso proprio.)
Nel 1940, solo pochi mesi dopo il suo arrivo a Princeton, Gödel pubblicò un altro classico documento matematico, "Coerenza tra l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuum generalizzato con gli assiomi della teoria degli insiemi", che dimostrò che l'assioma della scelta e il continuum le ipotesi sono coerenti con gli assiomi standard (come gli assiomi Zermelo-Fraenkel) della teoria degli insiemi. Ciò costituì la metà di una congettura di Gödel, vale a dire che l'ipotesi del continuum non poteva essere dimostrata vera o falsa nelle teorie standard stabilite. Le prove di Gödel dimostrarono che non poteva essere dimostrato falso in quelle teorie. Nel 1963 il matematico americano Paul Cohen dimostrò che non poteva essere dimostrato vero neppure in quelle teorie, giustificando la congettura di Gödel.
Nel 1949 Gödel diede anche un importante contributo alla fisica, dimostrando che la teoria della relatività generale di Einstein consente la possibilità di viaggiare nel tempo.
