Problema di Sturm-Liouville, o problema degli autovalori, in matematica, una certa classe di equazioni differenziali parziali (PDE) soggetta a vincoli aggiuntivi, noti come valori limite, sulle soluzioni. Tali equazioni sono comuni sia nella fisica classica (es. Conduzione termica) sia nella meccanica quantistica (es. Equazione di Schrödinger) per descrivere i processi in cui un valore esterno (valore limite) viene mantenuto costante mentre il sistema di interesse trasmette una qualche forma di energia.
A metà degli anni 1830 i matematici francesi Charles-François Sturm e Joseph Liouville lavorarono indipendentemente sul problema della conduzione del calore attraverso una barra di metallo, sviluppando tecniche per risolvere una grande classe di PDE, la più semplice delle quali prende forma [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 dove y è una quantità fisica (o la funzione d'onda meccanica quantistica) e λ è un parametro, o autovalore, che vincola l'equazione così che y soddisfa i valori limite ai punti finali dell'intervallo su cui la variabile x varia. Se le funzioni p, q ed r soddisfano le condizioni adatte, l'equazione avrà una famiglia di soluzioni, chiamate autofunzioni, corrispondenti alle soluzioni di autovalori.
Per il caso non omogeneo più complicato in cui il lato destro dell'equazione sopra è una funzione, f (x), anziché zero, gli autovalori dell'equazione omogenea corrispondente possono essere confrontati con gli autovalori dell'equazione originale. Se questi valori sono diversi, il problema avrà una soluzione unica. D'altra parte, se uno di questi autovalori corrisponde, il problema non avrà alcuna soluzione o un'intera famiglia di soluzioni, a seconda delle proprietà della funzione f (x).
