Geometria euclidea
Se consideriamo la geometria euclidea discerniamo chiaramente che si riferisce alle leggi che regolano le posizioni dei corpi rigidi. Si gira per rendere conto del geniale pensiero di ricondurre tutte le relazioni riguardanti i corpi e le loro posizioni relative al concetto molto semplice di "distanza" (Strecke). La distanza indica un corpo rigido su cui sono stati specificati due punti materiali (segni). Il concetto di uguaglianza di distanze (e angoli) si riferisce a esperimenti che coinvolgono coincidenze; le stesse osservazioni si applicano ai teoremi sulla congruenza. Ora, la geometria euclidea, nella forma in cui ci è stata tramandata da Euclide, usa i concetti fondamentali "retta" e "piano" che non sembrano corrispondere, o comunque, non così direttamente, con esperienze riguardo alla posizione di corpi rigidi. Su questo va notato che il concetto di linea retta può essere ridotto a quello della distanza.1 Inoltre, i geometrici erano meno preoccupati di mettere in evidenza la relazione dei loro concetti fondamentali con l'esperienza che di dedurre logicamente le proposizioni geometriche da alcuni assiomi enunciati all'inizio.
Descriviamo brevemente come forse la base della geometria euclidea possa essere ottenuta dal concetto di distanza.
Partiamo dall'uguaglianza delle distanze (assioma dell'uguaglianza delle distanze). Supponiamo che di due distanze ineguali l'una sia sempre maggiore dell'altra. Gli stessi assiomi valgono per la disuguaglianza delle distanze come per la disuguaglianza dei numeri.
Tre distanze AB 1, BC 1, CA 1 possono, se CA 1 essere opportunamente scelta, avere i loro segni BB 1, CC 1, AA 1 sovrapposti l'uno sull'altro in modo che risulti un triangolo ABC. La distanza CA 1 ha un limite superiore per il quale questa costruzione è ancora possibile. I punti A, (BB ') e C si trovano quindi in una "linea retta" (definizione). Questo porta ai concetti: produrre una distanza di un importo pari a se stesso; dividendo una distanza in parti uguali; esprimere una distanza in termini di un numero mediante un'asta di misurazione (definizione dell'intervallo di spazio tra due punti).
Quando il concetto dell'intervallo tra due punti o la lunghezza di una distanza è stato acquisito in questo modo, abbiamo bisogno solo del seguente assioma (teorema di Pitagora) per arrivare analiticamente alla geometria euclidea.
Ad ogni punto di spazio (corpo di riferimento) tre numeri (coordinate) x, y, z possono essere assegnati - e viceversa - in modo tale che per ciascuna coppia di punti A (x 1, y 1, z 1) e B (x 2, y 2, z 2) il teorema contiene:
numero-misura AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Tutti gli altri concetti e proposizioni della geometria euclidea possono quindi essere costruiti in modo puramente logico su questa base, in particolare anche le proposizioni sulla retta e sul piano.
Queste osservazioni non intendono ovviamente sostituire la costruzione strettamente assiomatica della geometria euclidea. Desideriamo semplicemente indicare plausibilmente come tutte le concezioni della geometria possano essere ricondotte a quella della distanza. Potremmo anche aver riassunto l'intera base della geometria euclidea nell'ultimo teorema sopra. La relazione con i fondamenti dell'esperienza verrebbe quindi fornita mediante un teorema supplementare.
La coordinata può e deve essere scelta in modo tale che due coppie di punti separati da intervalli uguali, calcolati con l'aiuto del teorema di Pitagora, possano essere fatti coincidere con la stessa distanza scelta (su un solido).
I concetti e le proposizioni della geometria euclidea possono essere derivati dalla proposizione di Pitagora senza l'introduzione di corpi rigidi; ma questi concetti e proposizioni non avrebbero quindi contenuti che potrebbero essere testati. Non sono proposizioni "vere", ma solo proposizioni logicamente corrette di contenuto puramente formale.
