Funzione zeta di Riemann, funzione utile nella teoria dei numeri per lo studio delle proprietà dei numeri primi. Scritto come ζ (x), originariamente era definito come la serie infinitaζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Quando x = 1, questa serie è chiamata serie armonica, che aumenta senza limiti, ovvero la sua somma è infinita. Per valori di x maggiori di 1, la serie converge in un numero finito man mano che vengono aggiunti termini successivi. Se x è inferiore a 1, la somma è di nuovo infinita. La funzione zeta era nota al matematico svizzero Leonhard Euler nel 1737, ma per la prima volta fu ampiamente studiata dal matematico tedesco Bernhard Riemann.
Nel 1859 Riemann pubblicò un articolo che forniva una formula esplicita per il numero di numeri primi fino a qualsiasi limite prestabilito, un deciso miglioramento rispetto al valore approssimativo dato dal teorema del numero primo. Tuttavia, la formula di Riemann dipendeva dalla conoscenza dei valori ai quali una versione generalizzata della funzione zeta è uguale a zero. (La funzione zeta di Riemann è definita per tutti i numeri complessi — numeri della forma x + iy, dove i = radice quadrata di√ − 1 — tranne per la linea x = 1.) Riemann sapeva che la funzione è uguale a zero per tutti i negativi numeri interi −2, −4, −6,
(i cosiddetti zeri banali) e che ha un numero infinito di zeri nella striscia critica di numeri complessi tra le linee x = 0 e x = 1, e sapeva anche che tutti gli zeri non banali sono simmetrici rispetto al critico linea x = 1 / 2. Riemann ipotizzò che tutti gli zeri non banali si trovassero sulla linea critica, una congettura che successivamente divenne nota come l'ipotesi di Riemann.
Nel 1900 il matematico tedesco David Hilbert definì l'ipotesi di Riemann una delle domande più importanti in tutta la matematica, come indicato dalla sua inclusione nella sua influente lista di 23 problemi irrisolti con cui sfidò i matematici del 20 ° secolo. Nel 1915 il matematico inglese Godfrey Hardy dimostrò che sulla linea critica si verificava un numero infinito di zeri e nel 1986 i primi 1.500.000.001 zeri non banali si dimostrarono tutti sulla linea critica. Sebbene l'ipotesi possa ancora rivelarsi falsa, le indagini su questo difficile problema hanno arricchito la comprensione di numeri complessi.
