Matematica delle ipotesi continue

Ipotesi di Continuum, affermazione della teoria dell'insieme secondo cui l'insieme dei numeri reali (il continuum) è in un certo senso il più piccolo possibile. Nel 1873 il matematico tedesco Georg Cantor dimostrò che il continuum non era numerabile - cioè i numeri reali sono un infinito più grande dei numeri contatori - un risultato chiave nell'avviare la teoria degli insiemi come materia matematica. Inoltre, Cantor ha sviluppato un modo per classificare le dimensioni di insiemi infiniti in base al numero dei suoi elementi o alla sua cardinalità. (Vedi la teoria degli insiemi: cardinalità e numeri transfiniti.) In questi termini, l'ipotesi del continuum può essere affermata come segue: La cardinalità del continuum è il numero cardinale non numerabile più piccolo.

teoria degli insiemi: cardinalità e numeri transfiniti

una congettura nota come ipotesi di continuum.

Nella notazione di Cantor, l'ipotesi del continuum può essere affermata dall'equazione semplice 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, dove ℵ ₀ è il numero cardinale di un insieme numerabile infinito (come l'insieme dei numeri naturali) e i numeri cardinali di più grande " set ben ordinabili "sono ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, indicizzato dai numeri ordinali. La cardinalità del continuum può essere mostrata uguale a 2 ^{ℵ ₀}; quindi, l'ipotesi del continuum esclude l'esistenza di un insieme di dimensioni intermedie tra i numeri naturali e il continuum.

Un'affermazione più forte è l'ipotesi del continuum generalizzato (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} per ciascun numero ordinale α. Il matematico polacco Wacław Sierpiński dimostrò che con GCH si può ricavare l'assioma della scelta.

Come con l'assioma della scelta, il matematico americano austriaco Kurt Gödel dimostrò nel 1939 che, se l'altro assioma Zermelo-Fraenkel standard (ZF; vedi

tabella) sono coerenti, quindi non confutano l'ipotesi del continuum o persino GCH. Cioè, il risultato dell'aggiunta di GCH agli altri assiomi rimane coerente. Quindi, nel 1963, il matematico americano Paul Cohen completò il quadro dimostrando, sempre supponendo che ZF è coerente, che ZF non fornisce una prova dell'ipotesi del continuum.

Dal momento che ZF non prova né smentisce l'ipotesi del continuum, rimane la questione se accettare l'ipotesi del continuum basata su un concetto informale di quali siano gli insiemi. La risposta generale nella comunità matematica è stata negativa: l'ipotesi del continuum è un'affermazione limitante in un contesto in cui non vi sono ragioni note per imporre un limite. Nella teoria degli insiemi, l'operazione del gruppo di potere assegna a ciascun insieme di cardinalità ℵ _{α il} suo insieme di tutti i sottoinsiemi, che ha cardinalità 2 ^{ℵ _α}. Non sembra esserci alcun motivo per imporre un limite alla varietà di sottoinsiemi che un insieme infinito potrebbe avere.